Download Mathematik für Ökonomen II: Lineare Algebra by Prof. Dr. M. J. Beckmann, Prof. Dr. H. P. Künzi, Dr. R. PDF

By Prof. Dr. M. J. Beckmann, Prof. Dr. H. P. Künzi, Dr. R. Landtwing (auth.)

Hiermit legen wir den zweiten Band der geplanten drei Teile der "Mathematik für Ökonomen" vor. Wie beim Band I über die research von Funktionen einer Veränderlichen haben wir eine auf die besonderen Bedürfnisse des Studiums der Wirtschaftswissen­ schaft und der Unternehmensforschung ausgerichtete Darstellung der linearen Algebra gewählt. Dabei haben wir uns bemüht, die mathematische Theorie mit Anwendungen aus diesen beiden Dis­ ziplinen zu verbinden. Beim vorliegenden Stoffgebiet ist es sinnvoll, zunächst in den Abschnitten 1-6 die Grundlagen zu schaffen und die Anwendungen in den Abschnitten 7-9 zusammenhängend zu bringen. Infolge der rasch fortschreitenden Entwicklung der mathe­ matischen Wirtschaftswissenschaft und der Unternehmensfor­ schung können wir keinen Anspruch auf Vollständigkeit der typi­ schen Modelle erheben, haben aber auf die Auswahl der Beispiele besondere Sorgfalt verwendet. Es hat sich als zweckmäßig erwiesen, die Ausführungen über die lineare Algebra vor die Behandlung der Funktionen mit mehre­ ren Veränderlichen zu stellen, für die nun der Band III vorgesehen ist. Zum Studium dieses Bandes sind aber keine Kenntnisse der Differential- und Integralrechnung notwendig. Der Inhalt des vorliegenden Bandes beruht auf Aufzeichnungen von Vorlesungen, die H.P. KÜNZI während mehrerer Jahre an der Universität Zürich gehalten hat. Die Abschnitte mit den ökono­ mischen Anwendungen stammen zum großen Teil aus Kursen von M. BEcKMANN, die an der Brown college, der Universität Bonn und der Technischen Universität München veranstaltet wurden. Die eigentliche Ausarbeitung des Textes, die zahlreichen Ergän­ zungen und die geschicktere Anordnung des Stoffes hat Herr Dr.

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Beispiel: Die Ecken des Rechtecks in Abb. 6a sind durch die vier Punkte mit den Koordinaten gegeben. 23 Die Abbildung J sei durch YI = Xl +X 2 Y2 = Xl -x 2 beschrieben. Die Abbildungsmatrix ist A=G _~). Setzt man für jeden Punkt die Werte von Xl und X2 im System ein, erhält man die Koordinaten für die Punkte in der (Yl,Y2)-Ebene der Abb. :(6,4); P! : (5,-3) ; P::(9,1) . X2 4 P3 P4 ~ P2 3 2 2 3 t. 6a 5 Xl Y2 5 o p* 1 Yl 3 Abb. 1 Definitionen Eine (m x n)-Matrix A wird durch ihr typisches Element aij in Klammem bezeichnet, (aij)' Die doppelte Indizierung gibt an, daß ein Element aij zur Zeile i und zur Spalte j gehört.

X n folgt dann Ai=O, i=1, ... , n. Bei einer regulären linearen Abbildung werden linear unabhängige Vektoren aus V auf linear unabhängige Vektoren aus Wabgebildet. 19 Einem gegebenen Bildvektor können daher nicht mehrere linear unabhängige Urbildvektoren entsprechen. Man sagt auch, die Abbildung sei eineindeutig, injektiv, oder eine Injektion. 0 Definition 4: Gegeben sei eine ·lineare Abbildung f: V -+ w. Die Menge aller Vektoren f(x) mit xe V wird der Bildraum von V, f(V), genannt. Definition 5: Fällt der Bildraum von V mit dem ganzen Raum W zusammen, so wird f eine lineare Abbildung von V auf W genannt, die Abbildung ist surjektiv oder eine Surjektion.

Für die übrigen Fälle, bei denen alle Indices paarweise verschieden sind, hat man von den Summanden 46 alle Permutationen i,=a, der Zahlen 1, ... ,n für die ai,I, ... • , xJ = Lsigna,a iil ... •. , bn)· a, f sei eine lineare Abbildung von V in V. Um die Determinante von f zu definieren, wählt man eine nichttriviale Determinantenfunktion ,1; die reelle Funktion ,1J von der Form ,1J(x1 , • • • , x n) = ,1(f(x1 ), ••• ,J(xn») ist damit auch eine Determinantenfunktion, also gilt nach (3) ,1J = (X,1, (5) wobei (X nicht von der Wahl der Determinantenfunktion ,1 abhängt.

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