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H. es gibt keine linear unabhängige Teilmenge B von 10, die A enthält und von A verschieden ist. 16 gilt also k <; n. Ferner ist A ein Erzeugendensystem von 10, denn die Annahme, es gäbe ein w e 10, das nicht als Linearkombination der Elemente von A dargestellt werden kann, würde wegen der Eigenschaft a) implizieren, daß B = A U {w} C 10 linear unabhängig wäre, was aber der vorausgesetzten Eigenschaft b) widerspricht. 15. Gewisse Verknüpfungen von Unterräumen ergeben wieder Unterräume. 19 Seien 10 1 und 102 Unterräume des Vekto"äumes Q.

Somit würde aus (v. w) = 0 sofort a = 0 folgen. da nach Voraussetzung w '* 0 und daher (w. w) > O. Das wäre aber ein Widerspruch zu v '* o. Analog würde aus w = ßv auch ß= 0 folgen und somit ein Widerspruch zu w'* o. Allgemeiner folgt für eine beliebige Menge von Vektoren aus der paarweisen Orthogonalität die lineare Unabhängigkeit der Menge. 29 Sei J) ein Vekto"aum mit Skalmprodukt. Ist B .. {v" i EI} eine Teilmenge von J) mit vI '* 0 Vi E I und (VI. Vj) = O. i '* j. dann ist B linear unabhängig.

Habe nämlich Wl die Darstellung m Wl = 1: aljvj. j=l Da B eine Basis ist. muß Wl :1= 0 und folglich mindestens ein alj :1= 0 sein. ) sei au :1= O. 13 {Wh V2 ..... Vm } auch eine Basis von J). Bezüglich dieser Basis habe W2 die Darstellung m W2 =a21 Wl + 1: a2jvj. j=2 Hier muß mindestens ein a2j :1= 0 sein fiir einj > 2. da {Wh W2 } als Teilinenge von B linear unabhängig ist. A. a:z2 :1= O. 13 {Wh W2, V3 .... , Vm } eine Basis von J). Mit dieser Argumentation fortfahrend erhalten wir schließlich.

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