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By Stefan Waldmann

Im vorliegenden Lehrbuch werden die Grundlagen der Linearen Algebra im aspect vorgestellt: Nachdem die grundlegenden Strukturen der Mathematik - die Gruppen, Ringe und Körper - eingeführt sind, werden Vektorräume und lineare Abbildungen zwischen ihnen ausführlich vorgestellt. Wichtige Normalformen werden ebenso diskutiert wie die Determinante und das challenge der Diagonalisierung. Abschließend werden die Theorien der euklidischen und unitären Vektorräume parallel entwickelt. Die formalen Aspekte der wissenschaftlichen Mathematik werden stark betont. Andererseits wird gerade aus den Anwendungen in der mathematischen Physik wichtige Motivation für das Vorgehen gewonnen. Auf diese Weise ist das Lehrbuch für Studierende der Mathematik und der Physik geeignet. Mehr als 2 hundred umfangreiche Übungen erleichtern das Selbststudium.

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N; / ! Z; / ! Q; / ! 9) sind wieder Morphismen. ) Die Addition C von Vektoren im R3 ist ebenfalls eine Verknüpfung, ebenso das Kreuzprodukt . 1. Natürlich können wir unsere Definition einer Verknüpfung dahingehend verallgemeinern, dass wir auch Abbildungen der Form ˘W M1 M2 ! M3 zulassen. Weiter können wir auch mehr als nur zwei Elemente miteinander verknüpfen und somit Abbildungen vom Typ ˘W M1 Mk ! 1 Algebraische Strukturen und Morphismen 33 für Mengen M1 ; : : : ; Mk und N betrachten. Wir werden Abbildungen dieser Art durchaus noch kennenlernen, wollen dann aber dabei nicht von inneren Verknüpfungen sprechen.

T u Da Inverse eine derart große Rolle spielen werden, listen wir hier noch einige elementare Rechenregeln für Inverse auf. 16. M; ˘; e/ ein Monoid. ) Das neutrale Element e ist invertierbar mit e 1 D e. a 1 / 1 D a. a ˘ b/ 1 D b 1 ˘ a 1 . Beweis. Der erste Teil ist klar, da e ˘ e D e. ). b 1 ˘ a 1 / D e. Dies zeigt, dass b 1 ˘ a 1 ein Inverses und damit das eindeutige Inverse von a ˘ b ist. Auch hier ist die Assoziativität von ˘ entscheidend. a ˘ b/ 1 D b 1 ˘a 1 für invertierbare Elemente a; b 2 M umkehrt, was im nichtkommutativen Fall wichtig ist.

Allerdings bezog sich seine Definition stark auf das kartesische Koordinatensystem, welches ja eine gewisse willkürliche Wahl darstellt. Es muss also auch hier untersucht werden, wie eindeutig diese Wahl ist und wie das Skalarprodukt unter Koordinatenwechsel umgerechnet werden kann. Da wir an allgemeinen Vektorräumen interessiert sind, wollen wir auch in allgemeineren Situationen von Skalarprodukten sprechen können. Auch hier stellt sich dann die Frage nach den strukturerhaltenden Abbildungen, was uns auf das Studium der orthogonalen und unitären Abbildungen führen wird.

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