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By Freddy Van Oystaeyen, Stefaan Caenepeel

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10 gilt H/ϕ(U ) ∼ = G/U . 14 (2. Isomorphiesatz) Es seien N und U Normalteiler der Gruppe G mit N ⊆ U . Dann gilt U/N G/N und G/U ∼ = (G/N )/(U/N ) . 9 Es seien N und U Normalteiler der Gruppe G mit N ⊆ U . Ist G/U zyklisch und gilt |U/N | = 2, so ist G/N abelsch. Denn: Es ist nämlich (G/N )/(U/N ) ∼ = G/U zyklisch. Wir kürzen G/N =: H und U/N =: K ab. Dann gilt also H/K = a K für ein a ∈ H und K = {e, k} H. Es folgt a k a−1 = k. 3 abelsch. Hat demnach etwa eine Gruppe der Ordnung 10 einen Normalteiler U der Ordnung 2, so ist G abelsch (setze N = {e}).

1 auf Seite 19) gilt: V = a, b = b, c = a, c Die Klein’sche Vierergruppe ist endlich erzeugt, aber nicht zyklisch. 3 Darstellung von X Aus der Definition von X kann man einige Eigenschaften von X leicht ableiten. Sie ist allerdings zur Bestimmung der erzeugten Untergruppe nicht gut geeignet. Es ist im Allgemeinen recht mühsam, alle Untergruppen zu bestimmen, die eine vorgegebene Menge enthalten. 2 (Darstellungssatz) Für jede nichtleere Teilmenge X einer Gruppe G besteht X aus allen endlichen Produkten von Elementen aus X ∪ X −1 : X = {x1 · · · xn | x1 , .

Für die Klein’sche Vierergruppe V = {e, a, b, c} (vgl. 1 auf Seite 19) gilt: V = a, b = b, c = a, c Die Klein’sche Vierergruppe ist endlich erzeugt, aber nicht zyklisch. 3 Darstellung von X Aus der Definition von X kann man einige Eigenschaften von X leicht ableiten. Sie ist allerdings zur Bestimmung der erzeugten Untergruppe nicht gut geeignet. Es ist im Allgemeinen recht mühsam, alle Untergruppen zu bestimmen, die eine vorgegebene Menge enthalten. 2 (Darstellungssatz) Für jede nichtleere Teilmenge X einer Gruppe G besteht X aus allen endlichen Produkten von Elementen aus X ∪ X −1 : X = {x1 · · · xn | x1 , .

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