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By Claretta Carrara

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13. Si considerino i piani dello spazio π : x−y+z =0 e π ′ : 8x + y − z = 0. a) Stabilire la posizione reciproca dei due piani. b) Trovare un’equazione cartesiana del piano passante per P = (1, 1, 1) e perpendicolare ai piani π e π′ . Soluzione: a) Due piani o sono paralleli o la loro intersezione `e una retta. In questo caso il piano π `e perpendicolare al vettore (1, −1, 1), mentre π ′ `e perpendicolare al vettore (8, 1, −1), quindi i piani non sono paralleli tra loro. Determiniamo la loro intersezione mettendo a sistema le loro equazioni:   x = 0 x−y+z =0 9x = 0 ⇒ ⇒ y=t  8x + y − z = 0 −y + z = 0  z=t Quindi i piani si intersecano nella retta   x = 0 y=t   z=t ∀t ∈ R b) La direzione perpendicolare al piano π `e data dal vettore (1, −1, 1), mentre la direzione perpendicolare a π ′ `e (8, 1, −1).

L’elemento neutro 0 appartiene a V . – Esiste l’opposto −v di ogni elemento v ∈ V . – La somma ´e commutativa. (2) Il prodotto per scalari gode delle seguenti propriet` a: – (k1 + k2 )u = k1 u + k2 u qualsiasi ki ∈ R e qualsiasi u ∈ V , – k(u + v) = ku + kv qualsiasi k ∈ R e qualsiasi u, v ∈ V , – (k1 k2 )v = k1 (k2 v) qualsiasi ki ∈ R e qualsiasi u ∈ V – 1u = u qualsiasi u ∈ V . • Sottospazio vettoriale. Un sottinsieme S di uno spazio vettoriale V `e un sottospazio vettoriale se in S valgono le seguenti propriet´ a (1) Se u, v ∈ S, allora u + v ∈ S.

C) Imponendo al generico punto P (x, y) la condizione P ′ = f (P ) = P otteniamo il sistema √ √ √ y = 4 − (2 − 3)x (2 − 3)x + y = 4 x = 23 x −√ 12 y + 2 √ √ √ ⇒ ⇒ −x + (2 − 3)y = 4 −x + 4(2 − 3) − (2 − 3)2 x = 4 y = 21 x + 23 y + 2 √ x = −1 − 3 √ ⇒ y =3+ 3 √ √ Infine il punto fisso dell’isometria (centro di rotazione) `e P (−1 − 3, 3 + 3). 1. Dimostrare che l’insieme a 0 G= 0 b | a, b ∈ R, a, b = 0 forma un gruppo rispetto al prodotto tra matrici. 2. Sia R[x] l’insieme dei polinomi a coefficienti in R.

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