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By F. Nevanlinna

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22. Homomorphie und Isomorphie. Die oben besprochenen Begriffe stehen in engem Zusammenhang mit den hornamorphen Gruppenabbildungen. Es seien G und G zwei Gruppen. Eine Abbildung von G auf G heisst homomorph, wenn die Gruppenrelationen bei der Abbildung invariant bleiben. Bei einer hornamorphen Abbildung G -+ G gehen Einselement und inverses Element in G in Einselement bzw. inverses Element in G über. Ist nämlich 7i. i e = ea, e somit das Einselement von G. i)-1. i = b haben, so ist hiermit in G eine dem Kongruenzpostulat genügende Äquivalenzrelation erklärt.

Hiermit haben wir folgendes Ergebnis: Satz 33. Falls die Primzahl p Kongruenz h-ten Grades > 2 und a =/= O(p), so hat die binomische xh _ a(p") nur dann Lösungen, wenn a der Kongruenz (1') genügt, und zwar pß-l q modulo p verschiedene Lösungen; diese Anzahl ist der grösste gemeinsame Teiler der Zahlenhund rp(P") = p"- 1 (p - 1), wobei p - 1 = q q'. Für p = 2 umfasst die Gruppe P(2") sämtliche modulo 2" identifizierten ungeraden Zahlen, und es handelt sich um die Kongruenz xn = a(2") mit einem ungeraden a modulo 2".

Es erübrigt sich, den Fall p = 2 zu behandeln, wo die Gruppe von der Ordnung rp(2a) = 2a-I ist. Für rx = 1 und rx = 2 ist die Gruppe trivialerweise zyklisch; denn für rx = 1 hat sie als einziges Element die Restklasse der ungeraden Zahlen modulo 2, und für rx = 2 sind die Elemente der Gruppe die Restklassen der Zahlen - 1 und 1 modulo 4, wo die erstere offenbar primitiv ist. ) /2 ; die Gruppe hat kein primitives Element, ist somit nicht zyklisch. Es sei nämlich r ein beliebiges Element der Gruppe, also eine modulo 2a bestimmte ungerade Zahl 2 n 1, folglich + y2 = mit einem ganzen u 3 = n(n ins Quadrat, so wird + 1 + Ua 2a 1) /2.

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