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YlA lk y 2A 2k YnAnk = AXk' wo A = Im: I gesetzt ist (vgl. § 10). Entscheidend ist für die weitere Rechnung, ob A verschwindet oder nicht. Ist A =1= 0, so kann man dividieren, und Xl' X 2 ' ••• , X n sind als lineare Funktionen der YI' Y2' •.. , Yn dargestellt. Diese Rechnung läßt noch eine andere Deutung zu. Wir fassen t)=m:~ als ein System von n Gleichungen mit n Unbekannten Xl' X 2 ' ••• , X" auf, während YI' Y2' ... , Yn und aik gegebene Größen sind. Der hier behandelte Fall m = n und A =1= owird Cramersch er Hau ptfall genannt.

M) = ASU: + Am, su: + () = SU:, o·su: = (). Um auch das Prod ukt zweier Matrizen su: = (aik) und m= I. zu erklären, betrachten wir die linearen Substitutionen (b ik ) 44 Matrizen. Zl = an Yt Z2 = a 21 Yt + a l2 + .. ,+ a + a + ... + a Y2 ln Y.. 22 Y2 2n Y .. und YI = bn Y2 = b21 +b Xl + b Xl l2 X 2 22 X 2 + .. , + b + ... + b lr X r 2r X r Vermöge m: werden Zl1 Z2' ••• , Zm als lineare Funktionen der YI' Y2' •• " Yn dargestellt. ~ gestattet, die Yl' Y2' ••• , Yn durch Xl' X 2' ••• , X r zu ersetzen.

Rechnen mit Matrizen. und nennt es eine Matrix aus m Zeilen und n Spalten. Man sagt auch: Die Matrix ist vom Typ (m, n). Ist m = n, so haben wir eine quadratische Matrix vor uns, in diesem Falle verstehen wir unter 1SU:1 die Determinante 1aik I. Wir bezeichnen die Matrizen mit großen deutschen Buchstaben. Während eine Determinante einen bestimmten Wert hat, hat es keinen Sinn, von dem Wert einer Matrix zu sprechen. So können zwei Determinanten einander gleich sein, während ihre Elemente verschieden sind, dagegen wird die Gleichheit zweier Matrizen folgendermaßen definiert: bedeutet, su: und m sind vom gleichen Typ, und jedes einzelne Element von su: ist gleich dem entsprechenden von m, aik = bik für i = 1,2, ...

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