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By Ina Kersten

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T(A + B) = tA + tB f¨ ur A, B ∈ Mm×n (K) ur λ ∈ K 2. t(λA) = λ(tA) f¨ ur A ∈ Mm×n (K) 3. t(tA) = A f¨ ur A ∈ Mm×n (K), B ∈ Mn× (K) (vgl. 2 1. 4. ). Wir erhalten tA, indem wir die Zeilen von A als Spalten schreiben. 4 61 Die Matrix MCB (f ) einer linearen Abbildung f Seien V , W zwei endlich dimensionale K-Vektorr¨aume und sei HomK (V, W ) := {f : V −→ W | f ist K-linear} Dann ist HomK (V, W ) ein Teilraum von Abb(V, W ), also insbesondere selbst ein K-Vektorraum. Sei dimK V = n und dimK W = m. Wir w¨ahlen eine Basis B = (v1 , .

W¨ f (v1 ), . . , f (vs ) eine Basis von bild(f ) bilden. Dann ist B := {u1 , . . , ur , v1 , . . , vs } eine Basis von V . Beweis. Unabh¨ angigkeit Sei 0 = λ1 u1 + · · · + λr ur + µ1 v1 + · · · µs vs mit λi , µj ∈ K ∀i, j f =⇒ 0 = f (0) = µ1 f (v1 ) + · · · + µs f (vs ), da u1 , . . , ur ∈ kern(f ), =⇒ µ1 = · · · = µs = 0, da f (v1 ), . . f (vs ) linear unabh¨angig sind =⇒ λ1 = · · · = λr = 0, da u1 , . . , ur linear unabh¨angig sind B ist also linear unabh¨angig. Erzeugendensystem Sei v ∈ V , dann gibt es µ1 , .

Beweis. K-Linearit¨ at Seien f, g ∈ HomK (V, W ) zwei K-lineare Abbildungen und seien f¨ ur j = 1, . . n f (vj ) = a1j w1 + a2j w2 + · · · + amj wm g(vj ) = b1j w1 + b2j w2 + · · · + bmj wm die Basisdarstellungen von f (vj ) und g(vj ). Es folgt MCB (f + g) = (aij + bij ) = (aij ) + (bij ) = MCB (f ) + MCB (g) MCB (λf ) = (λaij ) = λ(aij ) = λMCB (f ) ∀λ ∈ K und MCB ist damit K-linear. Analytische Geometrie und Lineare Algebra I, Universit¨ at G¨ ottingen 2005/2006 62 5 Matrizen und lineare Abbildungen Bijektivit¨ at Sei A = (aij ) ∈ Mm×n (K).

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