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By Dr. phil. Dietmar W. Dorninger, Dr. phil. Winfried B. Müller

Ausgehend von dem Werk des Arabers Mohammed ibn Musa al-Khowarizmi "Hisab aljabr w'almuqabalah" (HinUberschaffen eines Gliedes einer Gleichung von einer Seite auf die andere) im eight. Jhdt. nach ehr., welches fUr die Algebra namensgebend warfare, verstand guy bis zum Beginn des 19. Jhdts. unter Algebra im wesentlichen die Lehre von der Losung alge braischer Gleichungen . Eines der Hauptprobleme der Gleichungslehre warfare, die Frage zu beantworten, wann eine allgemeine Polynomgleichung n-ten Grades mit Hilfe der Grundrechnungsarten, des Potenzierens und Wurzel ziehens auflosbar ist. Diese Frage wurde von E. Galois in einer im Jahre 1831 bei der Franzosischen Akademie der Wissenschaften einge reichten Arbeit endgUltig entschieden. Galois verwendete bei seinem Be weis erstmals Hilfsmittel, die als charakteristisch fUr die moderne Al gebra angesehen werden konnen, namlich Eigenschaften von Gruppen und Korpern . - Angeregt durch Fragen der Logik folgten bald Untersuchungen anderer algebraischer Strukturen, namlich von Booleschen Algebren, und mit der Zeit wandelte sich die Bedeutung des Wortes Algebra hin zur Lehre von algebraischen Strukturen, so wie wir sie heute vornehml ich verstehen. Mit den vielen neu gewonnenen Ergebnissen Uber algebraische Strukturen gewann die Frage an Bedeutung, was once diesen Ergebnissen gemeinsam ist, und so entstand vor etwa 30 Jahren eine neue Teildisziplin der Algebra, die sogenannte Universelle (oder Universale) Algebra. Zugleich mit dem pattern zur abstrakten Algebra hin geriet allerdings teilweise etwas in Ver gessenheit, dass viele Probleme der Algebra aus konkret en Fragen der An wendungen entstanden und fUr die Anwendungen bedeutsam sind

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Die Relationen in Beispiel 1) und 7) sind reflexiv, symmetrisch und transitiv, die Relationen in4),5)'und 6) sind reflexiv, antisymmetrisch und transitiv . Die Relation in 2) ist nicht reflexiv, jedoch symmetrisch und transitiv. ) Die Relation in Beispiel 3) hat die Eigenschaft reflexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv zu sein; sie ist nicht transitiv, denn haben die Moleküle x und y ähnliche Eigenschaften und ist y ähnlich einem weiteren Molekül z, so mufl nicht notwendigerweise x ähnlich z sein.

Der so definierte Graph G ist ein unger ichteter Graph ohne Mehrfachkanten und Schlingen. 2 wiedergegeben. 2 Eine Phase an einer Kreuzung i s t durch eine Menge von paarweise miteinander vertr äglichen Verkehrs strömen charakterisiert . So einer Menge entspricht i n dem der Kreuzung zugeordneten Graphen G e in vollständiger Teilgraoh von G. g). falls VT cV. ET cE und gT(e) = g(e) fUr alle e €E T• und voZ~st~nd ig bedeutet fUr einen schlichten Graphen. daß von jedem Knoten zu jedem anderen Knoten eine ungerichtete Kante fUhrt (und sonst 37 keine Ka nt e n existieren).

Und falls für jede nullstellige Operation für alle xl' x2 X nv 0v . 2 r}, gilt : h( 0)0» = *)0). > . denn Ve rgleichen wir die Operationstafeln von l/ 0 4 und d ie Operationstafeln des in Abschn itt 2 angegebenen kommut a t i ve n Ringes mit Einselement mit der Trägermenge {a o. a 1 . a 2 . a 3} - wir bezeichnen diesen Ring mit R - so sehen wi r sehr schnell. da ß die Abbildung h(T ) = a i ein Homomorphismus i s t : Er setze n wir näml ich i n den Operationstafeln von R jedes a i an jeder Stelle.

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