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By Christian Karpfinger

Dieses Lehrbuch bietet eine Einführung in die grundlegenden Begriffe und Methoden der modernen Algebra. Die Algebra wird von vielen Studierenden als sehr abstrakt empfunden. Daher haben sich die Autoren bemüht, die Ergebnisse und Begriffe mit zahlreichen Beispielen zu unterlegen. Die Beweisführungen sind ausführlich, gelegentlich werden sogar verschiedene Beweise aufgezeigt. Zahlreiche Aufgaben unterschiedlicher Schwierigkeitsgrade (mit Lösungsvorschlägen auf der site) überprüfen das Gelernte und fördern das tiefere Verständnis.

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10 gilt H/ϕ(U ) ∼ = G/U . 14 (2. Isomorphiesatz) Es seien N und U Normalteiler der Gruppe G mit N ⊆ U . Dann gilt U/N G/N und G/U ∼ = (G/N )/(U/N ) . 9 Es seien N und U Normalteiler der Gruppe G mit N ⊆ U . Ist G/U zyklisch und gilt |U/N | = 2, so ist G/N abelsch. Denn: Es ist nämlich (G/N )/(U/N ) ∼ = G/U zyklisch. Wir kürzen G/N =: H und U/N =: K ab. Dann gilt also H/K = a K für ein a ∈ H und K = {e, k} H. Es folgt a k a−1 = k. 3 abelsch. Hat demnach etwa eine Gruppe der Ordnung 10 einen Normalteiler U der Ordnung 2, so ist G abelsch (setze N = {e}).

1 auf Seite 19) gilt: V = a, b = b, c = a, c Die Klein’sche Vierergruppe ist endlich erzeugt, aber nicht zyklisch. 3 Darstellung von X Aus der Definition von X kann man einige Eigenschaften von X leicht ableiten. Sie ist allerdings zur Bestimmung der erzeugten Untergruppe nicht gut geeignet. Es ist im Allgemeinen recht mühsam, alle Untergruppen zu bestimmen, die eine vorgegebene Menge enthalten. 2 (Darstellungssatz) Für jede nichtleere Teilmenge X einer Gruppe G besteht X aus allen endlichen Produkten von Elementen aus X ∪ X −1 : X = {x1 · · · xn | x1 , .

Für die Klein’sche Vierergruppe V = {e, a, b, c} (vgl. 1 auf Seite 19) gilt: V = a, b = b, c = a, c Die Klein’sche Vierergruppe ist endlich erzeugt, aber nicht zyklisch. 3 Darstellung von X Aus der Definition von X kann man einige Eigenschaften von X leicht ableiten. Sie ist allerdings zur Bestimmung der erzeugten Untergruppe nicht gut geeignet. Es ist im Allgemeinen recht mühsam, alle Untergruppen zu bestimmen, die eine vorgegebene Menge enthalten. 2 (Darstellungssatz) Für jede nichtleere Teilmenge X einer Gruppe G besteht X aus allen endlichen Produkten von Elementen aus X ∪ X −1 : X = {x1 · · · xn | x1 , .

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